viernes, 28 de mayo de 2010

Pequeño dodecaedro estrellado.

Un icosaedro inscrito en un dodecaedro genera los vértices de la figura, los vértices del segundo son las bases de las pirámides cuyos vértices determinan el icosaedro.





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De gran dodecaedro de Képler-Poinsot a pequeño dodecaedro estrellado.

Octaedro regular

En C podemos observar la sección hexagonal del octaedro regular y vistas auxiliares de la planta y alzado.

Octaedro regular

Proyecciones diédricas cuadradas del octaedro regular y perspectiva axonométrica isométrica con contorno hexagonal regular del octaedro.

Octaedro

Los tres ejes que unen sus vértices opuestos son iguales, ya que todos los poliedros regulares se pueden inscribir en la esfera, por lo que el perfil es un cuadrado y el contorno de la proyección A un hexágono ya que los tres vértices del triángulo posterior son simétricos centrales respecto al anterior.

Icosidodecaedro

En distintas proyecciones observamos un poliedro arquimediano formado por truncamiento del dodecaedro o icosaedro.

Icosaedro truncado

Truncando poliedros obtenemos arquimedianos con cortes que pasan por el medio o un tercio de cada arista. Este es el famoso icosaedro truncado utilizado su armazón para el balón de fútbol.



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De icosaedro a icosaedro truncado

Generar poliedros estrellados

A partir de cualquier poliedro podemos construir otro estrellado al ubicar pirámides sobre sus caras, como este a partir del icosaedro.

Icosaedro regular

La planta y perfil son iguales, la base de cada pirámide de la figura es un pentágono regular y otro posible alzado para la planta es una vista auxiliar A con el contorno regular y simétrica central entre las partes vistas y ocultas de la pieza.

Icosaedro: planta, alzado y perfil en oro.

Aquí observamos en la proyección D una pirámide de base pentagonal regular (ya que todas los lados de los pentágonos son iguales por ser regulares).
En la sección A-A un decágono regular ya que corta por la mitad al antiprisma cuyas bases son dos pentágonos.
En la proyección C paralela a una cara el contorno hexagonal regular del icosaedro.

Icosaedro

Sus proyecciones diédricas se pueden inscribir en un cuadrado, como el dodecaedro, y en este caso son todas iguales, tras un giro de 90º.
Otra posible proyección (las del centro) tiene en el contorno un hexágono regular.
El icosaedro es un poliedro regular de 20 caras (triángulos equiláteros) agrupados en pirámides de base pentagonal.

Gran rombicosidodecaedro

Los llamados sólidos arquimedianos (por ser Arquímedes el primero que los nombra) se forman a partir de los cinco poliedros regulares o platónicos ( que son los de caras poligonales regulares iguales).
El poliedro arquimediano o semirregular es el que tiene como caras polígonos regulares (de lados iguales) de dos o más clases, iguales entre sí por clases, y dispuestos de la misma manera en cada vértice. En la figura observamos un arquimediano producido por truncamiento del icosaedro.


Los poliedros estrellados.

Se pueden formar a partir de los regulares, colocando pirámides sobre sus caras, como éstas sobre el dodecaedro.

Gran dodecaedro estrellado

Los vértices de este poliedro coinciden con los del dodecaedro. Las caras en las que se apoyan las pirámides son triángulos equiláteros de un icosaedro.

Gran dodecaedro estrellado

Si prolongamos las aristas de un icosaedro hasta que se cortan obtenemos los vértices del gran dodecaedro estrellado, por los que incide un dodecaedro regular, de ahí el nombre.

Dodecaedro

Proyecciones diédricas del dodecaedro regular: planta, alzado y perfil. En el borde inferior derecho, proyección axonométrica (cilíndrica ortogonal) de la figura.

Dodecaedro truncado

Las secciones del dodecaedro truncado son pentágonos si los planos cortantes son paralelos a las caras exteriores (al igual que el dodecaedro).

Secciones del dodecaedro

Si hacemos secciones paralelas a una cara, el pentágono regular de la sección se va incrementando hasta llegar homotéticamente (creciendo proporcionalmente) hasta los vértices del decágono. Haciendo lo mismo por la cara opuesta detectamos los vértices del pentágono cuyos vértices están en las mediatrices de los segmentos que unen los vértices anteriores -esto es, los vértices restantes del decágono regular.

El dodecaedro

La sección B-B es un cuadrado y la C-C -paralela a dos caras opuestas- es un pentágono regular.

Dodecaedro y su sección pentagonal BB

Observamos en la vista auxiliar A que el contorno de la proyección del dodecaedro es un decágono regular. La proyección en planta es igual al alzado si la giramos 90º.

Cuboctaedro

El cuboctaedro es un poliedro arquimediano que está formado por cuadrados y triángulos.
Se obtiene cortando cada vértice del cubo de lo que resultan 14 caras: 6 del cubo, que continúan cuadradas y 8 nuevas que resultan del truncamiento de los vértices; el cuboctaedro es un cubo que se trunca hasta el punto medio de la arista.